八、增 补

 
    
       
               (一) 文献[1]的原文    
     
    §1. 引力论普遍公式   设有两个质点A B (图12),沿连线方向有力相互作用,力与质量成正比,与距离的某一函数f(r) 成正比。如果把这两个质点叫作m和m′,相互作用力叫做P,那么这个力的表达式就是                                             
(45)  
其中μ是一个比例因子。相互作用的力可以是引力或者是斥力,由P的符号指出。
    设有连续的物体M (图13),吸引质量为1的一个质点m ,引力与物体内各质点的质量以及距离的某一函数f(x)成正比。为求出这物体对质点所作用的力,进行如下。用与坐标平面平行的平面,把整个物体分成许多无限小的正六面体,先求每一个正六面体的质量对质点所作用的力,然后求所有这些力的合力,这些力显然是有合力的,因为它们都作用在一个质点上。
m 坐标叫作x,y,z,把无限小正六面体m′的坐标叫做ξ,η,ζ,质量m′用体积与体积密度的乘积来表示:
质点m′(即无限小正六面体)对质点m 引力就是:
(因为我们取m=1 )。把这个式子分别乘以力与各坐标轴夹角的余弦,就得出这个力沿各坐标轴方向的分量。把吸引点的各坐标分别减去被吸引点的各个对应坐标,再把所得的差除以两点之间的距离,我们就得到各夹角的余弦。所以,如果由点A(x y z) 吸引(图14),则cos(P,x)是正的,并且从直角三角形ABC
而如果由点B (ξ,η,ζ) 吸引,则cos(P′,x)就是负的,并且有
于是力dP 沿各坐标轴的分量就是:
整个物体的引力沿各坐标轴的分量用这些式子的三重积分来表示,积分须遍及全数各正六面体:
   (46)   
公式(46)是根据引力推导出来的:如果是引力,结果还是一样,不过符号相反。
   
    §2.物体作用于质点的引力的势函数【定理】   如果有任意一个物体相互作用一个质点,那么引力具有力函数,即引力的分量恒为坐标的某一函数对某各坐标的偏导数。
    我们取质点位在物体外部的情形来证明这个定理,在这种情形下,r决不等于零。令
取函数Φ(r)对坐标x,y,z的偏导数,这时侯我们用坐标来表示r:
于是x 的偏导数就等于
利用这个式子,公式(48)中分量X 的表达式可以写成:
容易看出,函数
对点m的坐标x,y,z偏导数就等于力的分量。事实上,把U对x的微分:
这就得出了表示分力X 的那个公式,由此可见
所以,不管引力定律是怎样的,引力恒有力函数。
    只在被吸引点位于吸引物体之外这种情形下,我们才能认为这定理已经证明了。如果质点位于物体的里面,那么对于与质点毗连的各元,公式(46)里及U的表达式里的被积函数,可能趋于无限大(当力与距离的正幂次方成正比的时候),在这种情形下的积分,必须另外考虑。
    我们来指出,在引力的某些情形下,力函数U的形式。如果力正比于距离f(r)=r,我们有:
而力函数就表示成这样:
(47)
对牛顿引力,即距离平方成反比的引力
我们就有
而力函数就表示成这样:
(48)
   
    §3. 与距离成正比的引力   公式(46)里的体积分,在大多数的引力规律f(r)的情形下,都是相当繁杂的过程,而物体形状愈复杂,积分过程也就愈复杂。但是有一个引力规律,使积分与物体形状无关,这个定律就是,引力正比于距离,因而f(r)=r 。
    如果在公式(46)中X 的表达式里用r代替f(r),那么这个分量的表达式就化成:
把右边分解成两个积分,并且注意到x 与变量ξ,η,ζ无关,X的表达式就成为:
我们知道,
其中M 为吸引物体的质量而 ξ 是重心的坐标;因此
这就是表示质量M 的物体对质量等于1 的质点的引力分量的公式。引力本身的表达式为:
 

(49)

其中R为质点至吸引物体重心的距离。因此这个力与坐标轴夹角的余弦就等于:
    如果我们设想这物体全部质量集中于重心C ξηζ)(图13),那么当这个点(重心)对所给质点m依同一规律吸引时,它的引力就恰好是(m=1
P= μMR
由此推得:
    【定理】  当力与距离成正比时,不管物体具有怎样的形状,物体对一个质点的吸引,就正如物体全部质量集中于在重心依同一规律吸引这个质点一样*

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* 要注意的是,质点在物体的内部也是一样。(冯天岳 注)